Des maths et des Corgis - Bulletin CCF N° 36

Certains chiens ne vivent que pour rapporter des objets, surtout s’il s’agit de la baballe, leur jouet favori. D’autres ne rapporteront que s’il s’agit d’une friandise particulièrement alléchante. Enfin, il y a Elvis, un Corgi qui prend cela tellement au sérieux qu’il rapporte en cherchant à optimiser son tracé jusqu’à la cible.

Elvis est un Pembroke qui appartient à Tim Pennings, mathématicien au Hope College de Holland, dans le Michigan. Quand Elvis et Tim vont à la plage, leur passe-temps favori est le lancer de baballe (avec retour). Au bord de l’eau, Tim lance une balle de tennis que Elvis s’applique à rapporter au plus vite.

Selon l’angle duquel Tim lance la balle par rapport au rivage, son chien a le choix entre courir tout le long sur le sable jusqu’à ce qu’il arrive en face de la balle, puis nager jusqu’à elle, ou alors plonger dans l’eau tout suite et nager depuis la rive jusqu’à la balle. Mais ce qui arrive la plupart du temps, c’est qu’Elvis court une partie du chemin, puis nage jusqu’à la balle. Ce comportement a rappelé à Tim un problème standard que l’on trouve dans les livres de maths : comment optimiser un chemin jusqu’à une cible lorsque les chemins pour y arriver requièrent de traverser différentes surfaces, avec des vitesses différentes. Selon ce schéma , considérons que :
- la distance depuis la rive AC = z
- la distance perpendiculaire à la cible BC = x
- la distance DC = y (graphique)

Supposons que r est la vitesse de course du chien, et s, sa vitesse de nage. Si x est la distance perpendiculaire depuis la rive jusqu’à la cible, y est la distance du point de la rive opposée au point duquel le chien plonge dans l’eau, et z est la distance totale du long de la rive du point d’où la balle est lancée jusqu’au point opposé de la cible, alors nous obtenons l’équation suivante : 
Cette équation révèle que le chemin optimal ne dépend pas de la distance z tant que z est plus grand que y. De plus, il n’y a pas de solution satisfaisante si la vitesse de course est inférieur à la vitesse de nage.
Pour vérifier si les perfomances d’Elvis s’appliquaient bien à son modèle mathématique, Tim et un ami décidèrent de le chronométrer en situation réelle. Ils l’emmenèrent au lac Michigan, par une journée calme, avec peu de vagues. Ils enregistrèrent 35 résultats en 3 heures de temps, s’arrêtant seulement lorsque les vagues commencèrent à s’accroître.
A aucun moment Elvis ne demanda à s’arrêter ou à ralentir. Tim remarqua qu’il fallait prendre en compte d’autres données : la courbure de la rive, si la balle restait ou non stationnaire dans l’eau, et si la vitesse de course et de nage d’Elvis demeuraient indépendantes de la distance. Au final, Tim note que : “En prenant en compte ces facteurs supplémentaires, il est possible qu’Elvis ait en fait choisi des chemins qui soient meilleurs que ceux idéalement calculés au moyen de l’équation.” Bien sûr, Elvis ne calcule pas.

Néanmoins, Tim remarque que “le comportement d’Elvis est un exemple de la façon troublante avec laquelle la nature... trouve souvent des solutions optimales. Mon article est donc juste pour attirer l’attention sur quelque chose qui se trouve devant nos yeux depuis toujours. “

Michel Bauer, mathématicien au CEA et grand amateur de Corgis, nous résume :

“Voici un problème très classique : pour chercher un objet au plus vite, en général, le chien va en ligne droite. Bon, ça, ça marche sur la terre ferme. Si l'on est juste au bord de la mer, sur une plage et qu'on jette un objet droit devant soit, perpendiculairement à la plage, rien de changé : le toutou nageur se jette à l'eau droit devant et va chercher.

Mais si l'on lance l'objet flottant, disons une baballe, en diagonale ? Le toutou va bien plus vite sur la plage que dans l'eau.
Stratégie 1) : aller en ligne droite. Ca n'est pas très bon car ça veut dire faire tout le trajet dans l'eau, où il est lent.
Stratégie 2) : faire le moins de chemin dans l'eau, c'est à dire longer la plage jusqu'à arriver au niveau de l'objet, et là, se jeter à l'eau perpendiculairement à la plage.
Pour optimiser, il faut faire entre les deux, c'est-à-dire aller le long de la plage pendant un certain temps, pour profiter du terrain rapide, mais se jeter à l'eau un peu avant d'arriver au niveau de la baballe. La règle précise donnée dans l'article et demande un peu de calcul. Mais le chien (hasard, un Corgi !) est manifestement cablé pour se débrouiller presque optimalement, avec un bon compromis entre les stratégies 1) et 2). Je pense qu'il y a de l'évolution là-dessous. Juste pour relativiser la notion d'intelligence, la lumière fait la même chose pour aller d'un point à un autre, et c'est ce qui explique les illusions d'optique que vous avez sans doute déjà remarqué : 1) en regardant un objet au fond de l'eau à la piscine et en tendant le bras pour l'attrapper, ou 2) en ayant l'impression qu'une perche est tordue à l'endroit où elle rentre dans l'eau.”

Avec l’aimable autorisation de Ivars Peterson, de The Mathematical Association of America, de Tim Pennings et Elvis.
Photos © Tim Pennings
Remerciements à Michel Bauer.

Pour en savoir plus sur Elvis et Tim :
http://math.hope.edu/pennings/elvis.html

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